Holonomische beperkingen en vrijheidsgraden

Christian Schnorr 02/08/2017. 1 answers, 160 views
classical-mechanics lagrangian-formalism coordinate-systems constrained-dynamics degrees-of-freedom

Wikipedia en andere bronnen definiëren holonomische beperkingen als een functie

$$ f (\ vec {r} _1, \ ldots, \ vec {r} _N, t) \ equiv 0, $$

en zegt dat het aantal vrijheidsgraden in een systeem wordt verminderd door het aantal onafhankelijke holonomische beperkingen.

Ik zou meerdere van dergelijke beperkingen $ f_1, \ ldots, f_m $ kunnen nemen en ze kunnen formuleren als één enkele die vervuld is als en alleen als aan alle $ f_i $ is voldaan:

$$ f = \ sum_ {i = 1} ^ {m} {\ lvert f_i \ rvert}. $$

Deze combinatie van $ f $ zou het aantal vrijheidsgraden duidelijk verminderen met $ m $ in plaats van $ 1 $.

Als alternatief, om de absolute waarde te vermijden, zou ik een som van vierkanten kunnen gebruiken

$$ f = \ sum_ {i = 1} ^ {m} f_i ^ 2 $$

in plaats daarvan. Waar is mijn fout in redeneren?

1 Answers


Qmechanic 04/13/2017.

Welnu, in de definitie van holonomische beperkingen $ f_1, \ ldots, f_m $, zijn er ook twee technische regelmatigheidsvoorwaarden (die de tegenvoorbeelden van OP niet vervullen):

  1. De functies $ f_1, \ ldots, f_m, $ moeten continu differentieerbaar zijn met $ m \ leq 3N $.

  2. De $ m \ times 3N $ rechthoekige Jacobiaanse matrix $$ \ frac {\ partial (f_1, \ ldots, f_m)} {\ partial (\ vec {r} _1, \ ldots, \ vec {r} _N)} $$ zou $ m $ moeten zijn.

De regelgevingsvoorwaarden 1 & 2 worden opgelegd om het lokale bestaan ​​van gegeneraliseerde coördinaten $ q_1, \ ldots, q_n $, in een open buurt, waar $ n: = 3N-m $, via de inverse functiestelling te verzekeren .

Zie ook dit verwante Phys.SE bericht.

Referenties:

  1. M. Henneaux & C. Teitelboim, Quantisation Quantization of Gauge Systems, 1994; Subsectie 1.1.2, p. 7.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags