Intuïtie op de GNS-constructie en hoe deze zich verhoudt tot de gebruikelijke kwantummechanica

user1620696 06/13/2017. 3 answers, 274 views
quantum-mechanics mathematical-physics operators hilbert-space definition

Bij het lezen van één paper wordt de GNS-constructie als volgt vermeld:

Het is belangrijk om te onthouden dat een resultaat (stelling) als gevolg van Gel'fand, Naimark en Segal (GNS) vaststelt dat voor elke $ \ omega $ on $ \ mathcal {A} $ er altijd een representatie $ (f_ \ omega, \ mathfrak {h} _ \ omega) $ of $ \ mathcal {A} $ en $ \ Phi_ \ omega \ in \ mathfrak {h} _ \ omega $ (meestal een cyclic vector ), zodanig dat $ f_ \ omega (\ mathcal {A}) \ Phi_ \ omega $ is dicht in $ \ mathfrak {h} _ \ omega $ en $ \ omega (A) = \ langle \ Phi_ \ omega | f _ {\ omega} (\ mathcal {A}) | \ Phi_ \ omega \ rangle $. Bovendien garandeert het resultaat van GNS dat tot unitaire equivalentie, $ (f_ \ omega, \ mathfrak {h} _ \ omega) $ de unieke cyclische representatie van $ \ mathcal {A} $ is.

Nu, gezien de wiskunde is er een stelling en een bijbehorend bewijs. Ik wil hier niet over praten. Mijn punt is hier om de intuïtie over deze constructie vanuit het oogpunt van natuurkunde te bespreken.

Dus het eerste ding dat me in de war brengt: in de $ C ^ \ ast $ -algebra benadering, dacht ik dat elke staat $ \ omega: \ mathcal {A} \ to \ mathbb {R} $ de tegenhanger was van een ket $ | \ phi \ rangle $ in de traditionele aanpak.

We zien echter in de GNS-constructie dat elke staat $ \ omega $ één representatie induceert . Met andere woorden, in plaats van elke $ \ omega $ één ket, hebben we voor elke $ \ omega $ één hele Hilbert-ruimte.

Meer nog, we hebben die cyclische vectorconditie, die ik fysiek niet begrijp.

Dus mijn vraag is: wat is de intuïtie op de GNS-constructie vanuit het oogpunt van natuurkunde? Hoe verhoudt states $ \ omega $ van de algebraïsche benadering zich tot kets $ | \ psi \ rangle $ (state vectors) in de traditionele benadering? Waar gaat die cyclische vectorvoorwaarde vanuit vanuit een fysiek perspectief over?

3 Answers


Slereah 06/13/2017.

Het basisidee van de GNS-constructie is dat je een enkele toestand gebruikt (vaak zal dit het vacuüm zijn, als we werken op een platte ruimte) om de hele Hilbert-ruimte te recreëren. Dit is inderdaad gerelateerd aan de cycliciteit: de set van alle vectoren gegenereerd door de actie van de algebra op het vacuüm is dicht in de resulterende Hilbert-ruimte. Dus om de volledige Hilbert-ruimte te genereren, moet je elk lid van de $ C ^ * $ - algebra toepassen om een ​​dichte subset van de Hilbert-ruimte te genereren, en vervolgens de Cauchy-voltooiing voltooien om de volledige Hilbert-ruimte te genereren.

Een eenvoudige manier om de gebruikelijke representatie als een Hilbert-ruimte terug te krijgen, is het product van drie leden van de algebra te beschouwen, daarna hun representatie $ \ pi $ terwijl Hilbert-ruimtevaartexploitanten worden

$$ \ omega (ABC) = \ langle \ omega, \ pi (ABC) \ omega \ rangle $$

Dan kun je gewoon de toestanden definiëren $ \ vert \ psi \ rangle = \ pi (C) \ vert \ omega \ rangle $ en $ \ vert \ phi \ rangle = \ pi (A) \ vert \ omega \ rangle $, dan je staat wordt

$$ \ omega (ABC) = \ langle \ phi, \ pi (B) \ psi \ rangle $$

Dit wordt dan de gebruikelijke overgang tussen twee toestanden.

Een eenvoudig voorbeeld hiervan is bijvoorbeeld om de creatie- en annihilatie-operators op het vacuüm te beschouwen. Ze vormen een $ C ^ * $ -algebra en ze kunnen reageren op de vacuümstatus om een ​​willekeurig aantal toestanden te creëren die een Hilbert-ruimte vormen. Aan de andere kant geeft geen enkele hoeveelheid creatieoperators aan het vacuüm je de staat die door de Fock-status is gedefinieerd

$$ \ vert 1,1,1,1,1, .... \ rangle $$

Als we deze status als de basis $ \ omega $ hadden gebruikt, zouden we een unitair ongelijke theorie hebben.


ACuriousMind 06/13/2017.

In omgekeerde volgorde:

  1. Cycliciteit moet worden gezien als een soort onherleidbaarheid. Merk op dat elke vector van een niet-reduceerbare weergave cyclisch is en dat daarom het bestaan ​​van een niet-cyclische vector duidt op reduceerbaarheid. Er is dus weinig betekenis voor de cycliciteit buiten het gebruikelijke idee om alle irreducibele representaties te bestuderen, omdat deze alle relevante informatie over de algebra bevatten. Een aspect dat misschien de moeite waard is om te vermelden is dat veeleisende cycliciteit de GNS-constructie unique - er kunnen veel spaties zijn waarin elke gegeven abstracte toestand wordt gerepresenteerd door een vector, maar alle representaties waarin het cyclisch is, zijn unitair isomorf.

  2. De relatie tussen staten en vectoren is de volgende: In één richting, van vectoren tot toestanden, hebben we dat voor elke representatie $ \ rho: \ mathcal {A} \ to \ mathrm {B} (H) $ op een Hilbert-spatie $ H $ met begrensde operators $ \ mathrm {B} (H) $ en elke vector $ v \ in H $, de kaart $ \ mathcal {A} \ to \ mathbb {C}, A \ mapsto \ langle v \ vert \ rho (A) \ vert v \ rangle $ is een staat in abstracte zin. Omgekeerd is het juist het punt van de GNS constructie dat in elke abstracte staat een Hilbert-ruimte kan worden gevonden, zodanig dat de staat in die zin wordt gegeven door een vector op die ruimte.

  3. Ik zie er niets intutiefs in (en ik ben een beetje verbaasd over wat voor soort intuïtie je verwacht voor abstracte $ C ^ \ ast $ -algebras), maar fysiek verzekert de GNS-constructie ons dat de abstracte $ C ^ \ ast $ -algebraïsche perspectief en de traditionele benadering die begint met een algebra van observeerbare objecten op een Hilbert-ruimte is equivalent: de directe som over alle GNS-representaties die zijn geassocieerd met (zuivere) toestanden van de algebra $ \ mathcal {A} $ is getrouw en een isometrie, die is, de abstracte algebra is isometrisch isomorf aan de algebra van begrensde operators op die Hilbert-ruimte. Daarom maakt het no difference in the outcomes of we het "abstracte" of het "concrete" standpunt innemen. Dit is de inhoud van de Gel'fand-Naimark-stelling .


user154997 06/13/2017.

Als fysicus begrijp ik GNS als volgt.

verkorte versie

Gegeven observaties, verwachtingswaarden en symmetrieën, kunnen we de gebruikelijke QM reconstrueren met zijn Hilbert-ruimte, zijn definitie van verwachtingswaarden als "sandwiches" en zijn gebruikelijke eenheidsvertegenwoordiging van symmetrieën.

meer formele versie

We geven onszelf

  • een algebra $ \ mathcal {A} $ stabiel onder $ A \ mapsto A ^ * $: deze moeten worden geïdentificeerd met onze operators;
  • een functie $ \ omega $ die een complex getal koppelt aan elk element van die algebra: dat zijn de verwachtingswaarden van de operatoren;
  • een symmetriegroep $ G $ die op die algebra werkt, dusdanig
    • elke symmetrie $ s $ voldoet aan $ s (AB) = s (A) s (B) $,
    • en het laat $ \ omega $ invariant achter: $ \ omega (s (A)) = \ omega (A) $.

Vervolgens construeert GNS:

  • een Hilbert-spatie $ \ mathcal {H} $,
  • een vacuümvector $ \ mid 0 \ rangle $,
  • een representatie $ \ phi $ van de algebra $ \ mathcal {A} $, dat wil zeggen een afbeelding van $ \ mathcal {A} $ op $ \ mathcal {H} $ zodat $ \ phi (AB) = \ phi (A) \ phi (B) $, die bovendien de eigenschap heeft dat de verwachting van een element $ A \ in \ mathcal {A} $ de quantumverwachting is van $ \ phi (A) $: $$ \ omega (A) = \ langle 0 \ mid \ phi (A) \ mid 0 \ rangle $$
  • een eenheidsrepresentatie van de symmetriegroep die de symmetrie op de Hilbert-ruimte brengt, dwz aan elke $ s \ in G $ is een unitaire operator $ U_s $ gekoppeld aan de Hilbert-ruimte, zodanig dat $$ \ phi (s (A)) = U_s \ phi (A) U_s * ^ $$

cycliciteit van het vacuüm

De korte versie is dat door alle operatorrepresentaties toe te passen op het vacuüm, we bijna alle elementen van $ \ mathcal {H} $ krijgen. De rigoureuze versie is die $ \ left \ {\ phi (A) \ mid \! 0 \ rangle \ mid A \ in \ mathcal {A} \ right \} $ is dicht in $ \ mathcal {H} $.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags