Wat is de definitie van temperatuur, eens en voor altijd? [duplicaat]

Joshua Benabou 06/05/2017. 5 answers, 3.517 views
thermodynamics statistical-mechanics temperature definition

Kan iemand me uitleggen wat de formele definitie van temperatuur is?

Noch mijn leerboek, noch mijn professor, noch een van de online bronnen die ik heb gecontroleerd, kunnen me een goede temperatuursdefinitie geven. Zelfs Feynman definieert de temperatuur niet. Eerlijk gezegd is de hoeveelheid circulaire definities en dubbelzinnigheden die ik tegenkwam bij het proberen te begrijpen van de precieze definities van thermodynamische concepten verbluffend.

Het beste dat ik kreeg was dat de temperatuur van een deeltjesstelsel een maat is voor zijn gemiddelde kinetische energie.

Bij het afleiden van de ideale gaswet voor monoatomaire gassen is de afleiding van de interne energieformule $ U = 3 / 2PV $ mij duidelijk. Maar dan wordt het gebruikt dat de gemiddelde kinetische energie van een systeem wordt uitgedrukt in termen van zijn temperatuur als $ 3 / 2kT $. Voor een monoatomair gas is de totale energie eenvoudigweg het aantal moleculen $ N $ vermenigvuldigd met de gemiddelde kinetische energie (aangezien de moleculen verondersteld worden geen rotatie-energie te hebben), en dus $ U = 3 / 2NkT $, wat $ PV oplevert = NkT $ wat de ideale gaswet is.

Dus moet ik de verklaring aannemen dat de gemiddelde kinetische energie van een systeem gelijk is aan een constante vermenigvuldigd met de temperatuur $ T $ als een definitie van temperatuur? Ik denk het niet, omdat dit in feite de equipartition-stelling is, wat betekent dat temperatuur elders onafhankelijk moet worden gedefinieerd.

Dus wat is de juiste definitie van temperatuur in de thermodynamica en kinetische theorie, en bovendien, waarom is het dat wanneer we een thermometer in een waterbad plaatsen, we kunnen zeggen dat de meetwaarde die we krijgen een maat is voor de gemiddelde kinetische energie van de moleculen in het bad?

5 Answers


user154997 06/06/2017.

Omdat Fabian je een thermodynamisch perspectief gaf, probeer ik je het standpunt van de statistische fysica te geven. Je kwam eigenlijk heel dichtbij toen je de equipartition-stelling citeerde, omdat het algemene beeld heel veel is.

Ultra-beknopte versie: temperatuur is het omgekeerde van de Lagrange-multiplier en zorgt voor het behoud van energie in de maximalisatie van de statistische entropie.

Ik blijf in een klassiek kader zodat ik je niet moet overspoelen met de kwantummechanische machinerie van de dichtheidsoperator. Laten we zeggen dat we een systeem van $ N $ deeltjes hebben. We geven onszelf een fase dichtheid $ D (x_1, p_1, x_2, p_2, \ cdots, x_N, p_N) $: de kans dat het i-de deeltje een positie heeft tussen $ x_i $ en $ x_i + \ delta x_i $, en een momentum tussen $ p_i $ en $ p_i + \ delta p_i $ is evenredig met $ D (x_1, p_1, \ cdots, x_N, p_N) \ delta x_1 \ delta p_1 \ cdots \ delta x_N \ delta p_N $. Vervolgens construeren we de statistische entropie $ S (D) $. Dit is daarom een ​​functioneel, dat wil zeggen een functie van de functie $ D $:

$$ S (D) = -k \ int dx_1dp_1 \ cdots dx_Ndp_N \ D \ log D $$

waar ik de argumenten van $ D $ niet heb geschreven voor de leesbaarheid.

Nu is het spel om $ D $ te vinden dat $ S (D) $ maximaliseert onder de beperkingen dat sommige macroscopische hoeveelheden bekend zijn. Het eenvoudigste voorbeeld is dat van het canonieke ensemble waarin de macroscopische energie $ U $ bekend is.

$$ U = \ int dx_1dp_1 \ cdots dx_Ndp_N \ D \ u $$

waar $ u (x_1, p_1, \ cdots, x_N, p_N) $ de microscopische energie is voor het gegeven punt in de faseruimte. Voor het perfecte gas kunnen we bijvoorbeeld alleen kinetische energie in aanmerking nemen,

$$ u (x_1, p_1, \ cdots, x_N, p_N) = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {p_i ^ 2} {2m}, $$

waarbij $ m $ de massa van elk molecuul in het gas is.

Die beperkte maximalisatie wordt dan getransformeerd in een ongedwongene door daadwerkelijk te maximaliseren

$$ S (D) + \ beta U + \ lambda_0 \ int dx_1dp_1 \ cdots dx_Ndp_N D $$

waar $ \ lambda_0 $ wordt geïntroduceerd om de beperking af te dwingen, altijd aanwezig, moet $ D $ worden genormaliseerd naar 1, zodat de bovenstaande probabilistische definitie zinvol is. $ \ beta $ en $ \ lambda_0 $ worden Lagrange-multipliers genoemd. Het resultaat is dat

$$ D = \ frac {1} {Z} e ^ {- \ beta u} $$

waarbij de normalisatie $ Z $ de partitiefunctie wordt genoemd. Dit is de Boltzmann-Gibs-distributie. Ten slotte kunnen we de temperatuur $ T $ as definiëren

$$ \ beta = \ frac {1} {kT} $$


Diracology 06/06/2017.

Vanuit logisch en thermodynamisch standpunt moet de definitie van temperatuur worden gegeven door de Zeroth Law of Thermodynamics.

Laten we zeggen dat we niet weten wat de temperatuur is. We weten echter dat als we twee lichamen laten interageren, ze sommige thermometrische eigenschappen (zoals volume, druk, elektrische weerstand, ...) van elkaar kunnen veranderen. Als er helemaal geen verandering is in een thermometrische eigenschap, zeggen we dat de lichamen een thermisch evenwicht hebben bereikt. De Zeroth-wet bestaat uit het empirische feit dat als $ A $ in thermisch evenwicht is met $ B $ en $ B $ in thermisch evenwicht is met $ C $, dan is $ A $ in thermisch evenwicht met $ C $. Dit is een equivalentierelatie die een verzameling lichamen classificeert in subsets die equivalentieklassen worden genoemd . Vervolgens labelen we elke klas met een nummer $ T> 0 $ dat we de temperatuur noemen. De Zeroth-wet stelt ons in staat om thermisch evenwicht te bereiken, alleen in termen van een nieuw gedefinieerde variabele, temperatuur genoemd.

De bovenstaande definitie is echter niet absoluut. Het aantal dat we associëren met elke subset van lichamen in thermisch evenwicht is willekeurig. Om deze willekeur (ten minste gedeeltelijk) te verwijderen, gebruiken we de tweede wet van de thermodynamica om de zogenaamde absolute of thermodynamische temperatuur te definiëren. De tweede wet houdt in dat elke omkeerbare thermische motor die tussen twee bronnen werkt efficiëntie heeft gegeven door $$ \ eta_R = 1- \ frac {T_2} {T_1}, $$ waarbij $ T_1 $ en $ T_2 $ de temperaturen van de bronnen zijn. Gezien de universaliteit van dit resultaat kan men bijvoorbeeld willekeurig de temperatuur van de koude bron $ T_2 $ bepalen, mechanisch meten - de efficiëntie van de motor en dan de temperatuur $ T_1 $ wordt bepaald door $$ T_1 = \ frac {T_2} {1- \ eta_R}. $$ Merk op dat er geen willekeur meer bestaat over het begrip temperatuur, behalve de keuze van de temperatuur van de koude bron. Daarom is het aangewezen om te gebruiken als referentiepunt dat overal zeer reproduceerbaar is. Een standaardkeuze is het tripelpunt van water dat is gedefinieerd als $ 273.16 \, \ mathrm K $.


Fabian 06/06/2017.

Hier is de definitie van temperatuur in de thermodynamica:

  • de eerste wet definieert de heat $ Q $ als de "ontbrekende" energie $$ \ delta Q = d U - dW \ tag {1} $$ waarbij $ U $ de totale (innerlijke) energie is en $ W $ het werk is .

Merk echter op dat de warmte niet gedefinieerd is voor een toestand van het systeem, maar dat u het proces (pad) moet kennen waarmee u de huidige toestand bereikt hebt. Dat wil zeggen dat alleen de wijziging $ \ delta Q $ is gedefinieerd in (1) en niet $ Q $ zelf.

  • in de tweede wet is de (absolute) temperatuur $ T $ gedefinieerd als de integrerende factor die $ \ delta Q $ omzet in een totaal differentieel $ dS $. In meer fysieke termen is het de factor die uit $ \ delta Q $ een hoeveelheid $ S $ maakt die alleen afhangt van de status van het systeem $$ dS = \ frac {\ delta Q} {T}. \ Tag {2} $$

Via (2) wordt de temperatuur gedefinieerd tot een vermenigvuldigingsconstante. Deze constante wordt gewoonlijk gedefinieerd (via de Boltzmann-constante) op een zodanige manier dat er 100 eenheden zijn tussen de bevriezing en de kooktemperatuur van water bij omgevingsdruk.

Edit:

Dankzij Valter Moretti ben ik erachter gekomen dat je de voorwaarde moet toevoegen aan (2) dat $ S $ uitgebreid moet zijn.


user121330 06/05/2017.

wiskundige:

$$ T = \ frac {\ partial U} {\ partial S} _ {V, N} $$

Temperatuur is de verandering in interne energie met betrekking tot de entropie wanneer het volume en het aantal constant gehouden worden.

Gewoon Engels: temperatuur is een maat voor de vrije energie in een object. Verschillende objecten hebben verschillende capaciteiten om energie vast te houden. Bij kamertemperatuur kan ammoniak bijvoorbeeld ongeveer 10 keer de energie bevatten als gasvormig argon (per gram). Door de dingen nog ingewikkelder te maken, verandert de capaciteit van een materiaal om vrije energie te huisvesten met de temperatuur. In plaats van alleen de vrije energie in een object te rapporteren, rapporteert de temperatuur de vrije energie die is genormaliseerd tot hoeveel capaciteit dat object bij die temperatuur heeft. Dit alles brengt ons terug naar die definitie die heel circulair aanvoelt en niet echt veel uit de context verklaart:

Heuristiek: temperatuur is de kwaliteit van materie die hetzelfde is wanneer voorwerpen in contact thermisch evenwicht bereiken.

Mechanistische revisie: Je hebt gehoord over de beweging van moleculen in een gas en het wriemelen van atomen in een vaste stof, en dat is een manier om dingen te begrijpen, maar er zijn ook fotonen en (wiskundige) fononen die dingen temperatuur geven. Het blijkt dat we de temperatuur van de zon niet kennen omdat we een thermometer hebben verzonden, maar omdat het fotonen net als al het andere uitstraalt, en de frequentieverdeling van het uitgaande licht overeenkomt met het oppervlak van de zon op ongeveer 5800K. We weten zelfs dat het grootste deel van de ruimte een constante temperatuur heeft van ongeveer 3K vanwege dezelfde eigenschap.

Redactioneel: energie gaat van object naar object en typt u altijd. Energie is een abstract concept dat elke fysische wetenschap met elkaar verbindt (en honderden vormen van energie beschrijft), dus we kunnen niet echt verwachten dat zijn afgeleide met betrekking tot Entropie slechts één fenomeen is. Blijf verkennen.


OrangeSherbet 03/06/2018.

Wat is temperatuur? Er zijn erg formele wiskundige antwoorden op deze vraag. Het beste antwoord dat ik in mijn zes jaar natuurkundeonderwijs tegenkwam, was echter in mijn oorspronkelijke thermodynamica-cursus mijn tweede jaar, in Schroeder's Thermal Physics , blz. 85-91. Mijn begrip is echter geëvolueerd met blootstelling aan de kans- en informatietheorie.

Welk begrip van temperatuur men ook wenst te verkrijgen, wordt fundamenteel beperkt door hun begrip van wat entropie is.

De toestand van een systeem is alles wat mogelijk tegelijkertijd bekend kan zijn over een systeem (dat wordt beperkt door de kwantummechanica). Als je eenmaal alles weet wat er te weten valt over een systeem , heb je de staat ervan bepaald.

Entropie komt overeen met het expected aantal ja / nee-vragen dat minimaal vereist is om de status van een systeem te bepalen . Let op het woord "verwacht" (wat gemiddeld betekent) en het woord "minimaal" (wat betekent dat u de best vragen stelt).

Je hebt waarschijnlijk nooit deze definitie van entropie gehoord, maar deze definitie is eigenlijk helemaal correct, behalve in de natuurkunde vermenigvuldigen we dit aantal met $ k_b ln (2) $ (een cijfer) alleen om historische redenen. Dus wanneer je de entropy leest, moet je proberen het expected number of yes/no questions te bedenken. Het is niet verkeerd, het is heel intuïtief en het is erg handig.

Er is een eenvoudige wet die zegt dat het verwachte aantal ja / nee-vragen dat vereist is om de toestand van een gesloten systeem te bepalen nooit kan afnemen . Dit staat bekend als de 2e wet van de thermodynamica. Het is een coole wet. En wanneer entropie wordt gedefinieerd als het expected aantal vragen, is het een exacte wet die always geldt. Het geldt zelfs voor Maxwell's Demon.

Het verwachte aantal vragen om de status van een gesloten systeem te bepalen, kan zeker increase . En dat zal het zeker doen, totdat het een limiet bereikt. Een systeem dat deze "limiet van onkenbaarheid" heeft getroffen, bezet elke mogelijke toestand met gelijke waarschijnlijkheid en ik noem dit systeem ergodic . Dit gebeurt always als je lang genoeg wacht, dankzij IMO van de wiskunde van markov-ketens (elk gesloten systeem is noodzakelijkerwijs een onherleidbare, ergodische markov-keten die een stationaire verdeling benadert). Dit wordt de ergodic hypothesis in de natuurkunde genoemd.

Overweeg twee ergodic-systemen, één hoge temperatuur en één lage temperatuur.

Wanneer een systeem een ​​hoge temperatuur heeft, betekent dit dat kleine veranderingen in de energie van het systeem grote veranderingen in de entropie van het systeem veroorzaken (in feite is dit de definitie van temperatuur). Als u denkt aan entropie als het verwachte aantal ja / nee-vragen, betekent dit dat u nog veel meer vragen zult moeten stellen om de staat van het systeem te bepalen als u wat energie toevoegt.

Wanneer een systeem lage temperaturen heeft, betekent dit dat kleine veranderingen in de energie van het systeem de entropie van het systeem niet erg veranderen. Je zult niet veel meer vragen hoeven te stellen om de toestand van het systeem te bepalen als het wat meer energie heeft.

Beschouw nu het gecombineerde systeem, afgesloten van de rest van het universum. De derde wet legt een beperking op het verwachte aantal ja / nee-vragen om de toestand van het gecombineerde systeem te bepalen. Overweeg wat er gebeurt als de systemen energie kunnen uitwisselen (en alleen energie!).

Als er geen energie wordt uitgewisseld tussen systemen met lage temperatuur en hoge temperaturen, is het verwachte aantal vragen dat vereist is voor het hele systeem $ N_ {1 + 2} $ slechts de som van het verwachte aantal vragen voor elk subsysteem: $ N_ { 1 + 2} = N_1 + N_2 $.

Wat gebeurt er echter als de twee subsystemen energie kunnen en zullen gebruiken? De derde wet zegt dat, wat er ook gebeurt, het verwachte aantal vragen dat vereist is om de toestand van het gecombineerde systeem te bepalen niet kan decrease .

If je weet dat er meer energie stroomt van het hoge temperatuursysteem naar het lage temperatuursysteem (wat het zeker kan, stroomt er willekeurig energie), weet je aan de hand van de definitie van temperatuur dat het aantal vragen dat nodig is om de toestand van het gecombineerde systeem te bepalen, afgenomen, in kennelijke overtreding van de 2e wet: $ N_ {1 + 2} <N_1 + N_2 $. Deze kennis over 'terugstroming van energie' kan echter niet worden verkregen zonder een bepaald aantal vragen $ N_q $ van het systeem te stellen: het exacte aantal dat vereist is door de 2e wet $ N_ {1 + 2} \ geq N_1 + N_2 + N_q $ .

Aan de andere kant, als het enige wat u weet in dit gecombineerde systeem energie-uitwisseling plaatsvindt, wordt uit de ergodische hypothese het verwachte aantal vragen dat u zult moeten stellen alleen maar toeneemt, snel de ergodische limiet naderen. Dit requires dat energie gemiddeld (willekeurig) stroomt van het warme naar het koude. En de ergodische limiet is wanneer het warme en koude deel dezelfde temperatuur hebben.


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 The Chainsmokers

Beach House flac

The Chainsmokers. 2018. Writer: Andrew Taggart.
2 (G)I-DLE

POP/STARS flac

(G)I-DLE. 2018. Writer: Riot Music Team;Harloe.
3 Ariana Grande

​Thank U, Next flac

Ariana Grande. 2018. Writer: Crazy Mike;Scootie;Victoria Monét;Tayla Parx;TBHits;Ariana Grande.
4 Anne-Marie

Rewrite The Stars flac

Anne-Marie. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
5 Clean Bandit

Baby flac

Clean Bandit. 2018. Writer: Jack Patterson;Kamille;Jason Evigan;Matthew Knott;Marina;Luis Fonsi.
6 Nicki Minaj

No Candle No Light flac

Nicki Minaj. 2018. Writer: Denisia “Blu June” Andrews;Kathryn Ostenberg;Brittany "Chi" Coney;Brian Lee;TJ Routon;Tushar Apte;ZAYN;Nicki Minaj.
7 BlackPink

Kiss And Make Up flac

BlackPink. 2018. Writer: Soke;Kny Factory;Billboard;Chelcee Grimes;Teddy Park;Marc Vincent;Dua Lipa.
8 Imagine Dragons

Bad Liar flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Jorgen Odegard;Daniel Platzman;Ben McKee;Wayne Sermon;Aja Volkman;Dan Reynolds.
9 BTS

Waste It On Me flac

BTS. 2018. Writer: Steve Aoki;Jeff Halavacs;Ryan Ogren;Michael Gazzo;Nate Cyphert;Sean Foreman;RM.
10 Halsey

Without Me flac

Halsey. 2018. Writer: Halsey;Delacey;Louis Bell;Amy Allen;Justin Timberlake;Timbaland;Scott Storch.
11 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
12 Brooks

Limbo flac

Brooks. 2018.
13 Fitz And The Tantrums

HandClap flac

Fitz And The Tantrums. 2017. Writer: Fitz And The Tantrums;Eric Frederic;Sam Hollander.
14 Backstreet Boys

Chances flac

Backstreet Boys. 2018.
15 Lady Gaga

I'll Never Love Again flac

Lady Gaga. 2018. Writer: Benjamin Rice;Lady Gaga.
16 Diplo

Close To Me flac

Diplo. 2018. Writer: Ellie Goulding;Savan Kotecha;Peter Svensson;Ilya;Swae Lee;Diplo.
17 Rita Ora

Velvet Rope flac

Rita Ora. 2018.
18 Bradley Cooper

Always Remember Us This Way flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Lady Gaga;Dave Cobb.
19 Imagine Dragons

Machine flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Wayne Sermon;Daniel Platzman;Dan Reynolds;Ben McKee;Alex Da Kid.
20 Erika Sirola

Speechless flac

Erika Sirola. 2018. Writer: Teemu Brunila;Stefan Dabruck;Jürgen Dohr;Guido Kramer;Dennis Bierbrodt;Chris Braide;Robin Schulz.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags