Definitie van conjugate momentum in QFT

Piotr 05/28/2017. 2 answers, 372 views
quantum-field-theory momentum definition

Mijn dictaten definiëren het geconjugeerde momentum van een scalair veld via:

$$ \ pi = \ punt {\ psi} $$

Waar

$$ \ psi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ frac {1} {\ sqrt {2E_p}} \ left (a_p e ^ {i \ vec {p} \ cdot \ vec x} + a_p ^ \ dagger e ^ {- i \ vec p \ cdot \ vec x} \ right) $$

en beweren dat dit geeft

$$ \ pi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ sqrt {\ frac {E_p} {2}} \ left (a_p e ^ {i \ vec p \ cdot \ vec x} + a_p ^ \ dagger e ^ {- i \ vec p \ cdot \ vec x} \ right) $$

tijdens het werken op foto Schodinger. Maar duidelijk $ psi $ hangt niet eens af van de tijd. Heb ik gelijk als ik bedenk dat wat er in mijn dictaten staat verkeerd is en de definitie

$$ \ pi = \ punt {\ psi} $$

is alleen geldig op de foto van Heisenberg? En om de bovenstaande uitdrukkingen te verkrijgen, die op Schrödinger staan, moet je de Heisenberg-afbeeldingsuitdrukkingen nemen:

$$ \ psi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ frac {1} {\ sqrt {2E_p}} \ left (a_p e ^ {- ip \ cdot x} + a_p ^ \ dagger e ^ {ip \ cdot x} \ right) $$

$$ \ pi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ sqrt {\ frac {E_p} {2}} \ left (a_p e ^ {- ip \ cdot x} + a_p ^ \ dagger e ^ {ip \ cdot x} \ right) $$

(waar ik nu de 4-vector notatie gebruikte) en verander ze dan in Schrödinger-foto?

2 Answers


user1620696 05/28/2017.

Vergeet eerst QFT voor een tijdje en denk aan de klassieke veldentheorie. Overweeg het Klein-Gordon-veld nauwkeuriger. Zijn Lagrangiaan is

$$ \ mathcal {L} (\ phi, \ partial_ \ mu \ phi) = \ dfrac {1} {2} \ partial ^ \ mu \ partial_ \ mu \ phi- \ dfrac {1} {2} m ^ 2 \ phi ^ 2 $$

In deze Lagrange is de variable $ \ phi $. Aangezien $ \ phi $ een functie is die is gedefinieerd op ruimtetijd, is $ \ phi $ vooral afhankelijk van de tijd en kun je berekenen in een referentiekader $ \ punt {\ phi} = \ partial_0 \ phi $.

Vervolgens defines het geconjugeerde momentum, zoals in de klassieke mechanica

$$ \ pi = \ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_0 \ phi)}. $$

Wat krijgen we voor dit veld? Als je dit uitwerkt, vind je $ \ pi = \ punt {\ phi} $.

Dit is allemaal klassiek. Dan kun je dit in handen kwantiseren.

Het kwantiseren van het veld betekent immers dat je $ \ phi, \ pi $ wilt veranderen in operatoren die gehoorzamen

$$ [\ cp (x), \ phi (y)] = [\ pi (x), \ pi (y)] = 0 $$

$$ [\ cp (x), \ pi (y)] = i \ delta (xy). $$

Dus je hebt al $ \ pi $ nodig om over kwantisatie te praten. Net als in Quantum Mechanics heb je zowel positie als momentum nodig om de canonieke commutatierelaties op te leggen.

Trouwens, er is een klein detail. De commutatierelaties worden op gelijke tijden genomen. In dat geval hebben ze een van de Schrodinger-beeldbewerkers $ \ phi (\ mathbf {x}), \ pi (\ mathbf {y}) $, omdat ze op dezelfde begintijd worden gedefinieerd.

Dus als je $ \ pi $ van $ \ phi $ wilt berekenen, kun je het classy doen en dan de canonieke commutatierelaties opleggen, of je kunt het doen op de Heisenberg-afbeelding en je krijgt dezelfde resultaten.

Edit: de modusdecompositie kan worden bereikt in de Klassieke veldentheorie, het enige is dat de coëfficiënten getallen zijn. De bewegingsvergelijking is

$$ (\ Box + m ^ 2) \ phi = 0 $$

Neem de Fourier-transformatie in de ruimtelijke variabele zodat de Fourier-transformatie wordt aangeduid met $ \ hat {\ phi} $ die je hebt

$$ \ partial ^ 2_t \ hat {\ phi} + (| \ mathbf {p} | ^ 2 + m ^ 2) \ hat {\ phi} = 0 $$

define $ \ omega_ {p} ^ 2 = | \ mathbf {p} | ^ 2 + m ^ 2 $ en $ p = (\ omega_p, \ mathbf {p}) $. De vergelijking wordt geparametriseerd door $ \ mathbf {p} $ en kan eenvoudig worden opgelost om te geven

$$ \ hat {\ phi} (\ mathbf {p}, t) = a_p e ^ {- i \ omega_p t} + b_p e ^ {i \ omega_p t} $$

pas nu de realiteitsconditie van de Fourier-transformatie toe

$$ \ hat {\} phi (- \ mathbf {} p, t) = \ hat {\ fi} (\ mathbf {} p, t) ^ \ ast $$.

Je komt aan de voorwaarde

$$ a _ {- \ mathbf {p}} e ^ {- i \ omega_p t} + b _ {- \ mathbf {p}} e ^ {i \ omega_p t} = a _ {\ mathbf {p}} ^ \ ast e ^ {i \ omega_p t} + b _ {\ mathbf {p}} ^ \ ast e ^ {- i \ omega_p t} $$

de lineaire onafhankelijkheid van de exponentiële elementen geeft dan $ a _ {- \ mathbf {p}} = b _ {\ mathbf {p}} ^ \ ast $ en $ b _ {- \ mathbf {p}} = a _ {\ mathbf {p} } ^ \ ast $. Nu heb je

$$ \ hat {\ phi} (\ mathbf {p}, t) = a_pe ^ {- i \ omega_p t} + a _ {- p} ^ \ ast e ^ {i \ omega_p t} $$

pas nu de Fourier-inversie toe om te krijgen

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} (a_p e ^ {- i \ omega_p t} + a _ {- p} ^ \ ast e ^ { i \ omega_p t}) e ^ {i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} $$

als je variabelen op de tweede term wijzigt, maak je $ p \ tot -p $ sinds $ \ omega _ {- p} = \ omega_p $ krijg je de formule

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} (a_p e ^ {- ipx} + a_p ^ \ ast e ^ {ipx}). $$

De $ \ sqrt {2 \ omega_p} $ wordt vervolgens toegevoegd voor het gemak om een ​​Lorentz-invariant resultaat te krijgen (het komt neer op een herdefinitie van $ a_p $). Het laatste antwoord is

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} \ dfrac {1} {\ sqrt {2 \ omega_p}} (a_p e ^ {- ipx} + a_p ^ \ ast e ^ {ipx}). $$

Begrijp alsjeblieft dat dit de Fock-ruimtevoorstelling niet afleidt. Dit is slechts een klassieke berekening die op zijn beurt de decompositie van de modus motivates in termen van de Fock-ladderladers.

Overigens is er een schonere en elegantere benadering met de ruimtetijd Fourier-transformatie die kan worden gevonden in de vraag Een vraag over het gebruik van Fourier-decompositie om de Klein Gordon-vergelijking op te lossen .


Y2H 05/28/2017.

Ik denk dat ik weet wat je probleem is. Je vergeet dat de tijdsafhankelijkheid impliciet kan zijn en niet alleen expliciet hoeft te zijn. Bijvoorbeeld, $ \ psi $ kan afhangen van de tijd omdat $ x $ en / of $ p $ afhankelijk zijn van de tijd. In dit geval zal het derivaat niet nul zijn.

Ook moet de definitie geldig zijn in beide afbeeldingen omdat het afleiden van een functie met betrekking tot tijd in de matrixweergave hetzelfde is als het afleiden van de operator met betrekking tot tijd.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags