Wat is de precieze definitie van "druk op een punt"?

adiselann 01/03/2017. 2 answers, 351 views
fluid-dynamics pressure definition fluid-statics

Ik lees Landau's Fluid Mechanics en op de eerste pagina wordt de druk op elk punt en elke keer gedefinieerd: $ p = p (x, y, z, t) $. Hier is elk "punt" $ (x, y, z) $ eigenlijk een klein verschilvolume $ dV $, bijvoorbeeld een klein rechthoekig kader met dimensies $ dx $, $ dy $, $ dz $ ($ dV = dx dy dz $) , dat veel deeltjes bevat.

Deze druk $ p $, als een functie, heeft als eigenschap dat $ \ oint_S p \ dS $ de totale uitwendige kracht is over elk oppervlak $ S $, dit suggereert dat de druk wordt gedefinieerd als de totale uitwendige kracht over het oppervlak van een klein volume dV verdeelde de waarde van het oppervlak. Als we bijvoorbeeld krachten toepassen op elk vlak van een vak met dimensies $ a, b, c $:

kleine doos en krachten

Dan is de druk over dit vak: \ begin {vergelijking} p = \ frac {F_ {x +} + F_ {x -} + F_ {y +} + F_ {y -} + F_ {z +} + F_ {z-} } {2ab + 2bc + 2ca} \ end {vergelijking}

Nu, bijvoorbeeld, als ik een grote doos met dimensies $ L $, $ 2L $, $ 2L $ heb, en over dit vak zijn externe krachten $ F_x $, $ F_y $, $ F_z $ die proberen dit vak te comprimeren, en de doos beweegt niet, dan is de totale externe kracht uitgeoefend op de doos $ 2 (F_x + F_y + F_z) $. Stel dat de krachten uniform verdeeld zijn over de gezichten.

voer de beschrijving van de afbeelding hier in

Laten we nu de integraal van de druk over het oppervlak van deze box berekenen (het moet $ 2 zijn (F_x + F_y + F_z) $). Om dit te doen, kunnen we de doos verdelen in kleine blokjes van volume $ L ^ 3 / n ^ 3 $. De kracht over elk van de twee vlakken loodrecht op de $ x $ as is $ F_x / 4n ^ 2 $, en de kracht over de vlakken loodrecht op $ y $ as is $ F_y / 2n ^ 2 $, op dezelfde manier de kracht over de gezichten loodrecht op de $ z $ as is $ F_z / 2n ^ 2 $.

Dan is de druk over elke kleine kubus van volume $ L ^ 3 / n ^ 3 $: \ begin {vergelijking} p_0 = \ frac {2 \ left (\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ end {equation}

Als we de randen en hoekpunten negeren, kunnen we de integraal van het drukoppervlak schatten door het totale aantal kleine kubussen op het oppervlak, maar de randen, te nemen en te vermenigvuldigen met $ p_0 $. Er zijn $ (2n-2) ^ 2 $ zoals kubussen op de twee gezichten met oppervlakte $ 4L ^ 2 $, en $ (2n-2) (n-2) $ op elk van de vier resterende vlakken van oppervlak $ 2L ^ 2 $. Laat $ S $ het oppervlak van de grote doos zijn. Laat $ \ Delta S $ het oppervlak zijn van een kleine kubus ($ \ Delta S = L ^ 2 / n ^ 2 $).

\ begin {vergelijking} \ oint_S p \ dS \ approx \ left (2 (n-2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ right) p_0 \ Delta S = \ left (2 (n- 2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ rechts) \ frac {2 \ left (\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ frac {L ^ 2} {n ^ 2} = \ frac {4} {3} \ frac {3n ^ 2- 8n + 5} {n ^ 2} \ left (\ frac {F_x} {4} + \ frac {F_y} {2} + \ frac {F_z} {2} \ right) \ end {equation}

Limiet nemen als $ n \ rightarrow \ infty $, en gelet op het feit dat randen verwaarloosbaar zijn voor de oppervlakte-integratie:

\ begin {vergelijking} \ oint_S p \ dS = F_x + 2F_y + 2F_z \ end {vergelijking}

Maar dit kan niet correct zijn, omdat de kracht over het oppervlak $ 2 is (F_x + F_y + F_z) $. Ik begrijp niet echt wat er mis is. Is het de definitie van druk? Of is het de integratie?

2 Answers


Fábio Ribeiro 01/04/2017.

In het boek staat dat de hoeveelheid $ - \ oint p \ mathrm d \ mathbf f $ de totale kracht is. Als u ziet dat het $ \ math \ d \ mathbf f $ vet is, kunt u zien dat het een vector is en betekent dit in feite dat de integraal component voor component wordt uitgevoerd, zodat uw berekeningen niet van toepassing zijn. Dus bijvoorbeeld: $$ \ int p_ {x +} dS = \ int \ frac {F_ {x +}} {bc} dS = F_ {x +} \ int \ frac {dS} {bc} = F_ {x +} $ $ en vergelijkbaar voor de andere componenten. In dit voorbeeld is dS geen vector. Zoals u kunt zien, haalt u altijd het originele onderdeel op.

Wat betreft de precieze definitie is het de constante van proportionaliteit tussen de vectoren $ \ mathrm d \ mathbf F_n $, de normale component van $ \ mathrm d \ mathbf F $ in het oppervlak, en $ \ mathrm d \ mathbf S $. Merk op dat het oneindig is gedefinieerd aangezien deze vectoren over het algemeen functies van de positie zijn.


Farcher 01/03/2017.

Uw problemen beginnen wanneer u krachten en gebieden als scalairen begint te behandelen.

Dan is de druk over deze doos:

\ begin {vergelijking} p = \ frac {F_ {x +} + F_ {x -} + F_ {y +} + F_ {y -} + F_ {z +} + F_ {z -}} {2ab + 2bc + 2ca} \ end {equation}

is onjuist.

Je moet de vectorvorm van de vergelijking gebruiken die je de kracht geeft op een gebied zoals beschreven in het Wikipedia-artikel over Druk .

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags