Druk in de stress-tensor?

Quantum spaghettification 10/15/2016. 2 answers, 527 views
fluid-dynamics pressure definition stress-energy-momentum-tensor stress-strain

De stress-tensor kan worden geschreven als: $$ \ sigma_ {ij} = - p \ delta_ {ij} + \ sigma '_ {ij} \ label {1} ​​\ tag {1} $$ waarbij $ \ sigma_ {ij} '$ wordt de extra spanningstensor genoemd.

Uit wat ik begrijp druk is druk is kracht per oppervlakte-eenheid, zodat de kracht op het oppervlak $ d \ vec A $ wordt gegeven door: $$ \ vec F = -pd \ vec A \ label {2} \ tag { 2} $$ (Dit heeft tot gevolg dat de kracht op een oneindig klein oppervlak als gevolg van een continue druk nul is). $ \ Sigma_ {ij} $ vertegenwoordigt echter de kracht in de $ i $ -richting op een oppervlak met normaal in de $ \ hat e_j $ richting. Dus de kracht die op een oppervlak inwerkt $ d \ vec A $ moet zijn: $$ F_i = \ sigma_ {ij} dA_j \ label {3} \ tag {3} $$ Vergelijkingen (2) en (3) zijn het duidelijk niet eens (zelfs als we alleen naar de kracht in de $ d \ vec A $ -richting kijken, zijn ze het daar niet mee eens). Dus mijn vraag is wat de exacte betekenis van druk in expressie is (1) en waarom hebben we niet: $$ \ sigma_ {ii} = - p $$

2 Answers


Sanya 10/15/2016.

Binnen het gebruikelijke raamwerk van continuümmechanica wordt aangenomen dat er twee soorten krachten zijn: lichaamskrachten en oppervlaktekrachten. Van de laatste kan worden aangetoond dat deze kan worden gerepresenteerd door een tensor $ \ textbf {T} $, de Cauchy-strespertensor. Deze tensor levert de lokale spanning op een oppervlak op door: $$ \ vec F = \ textbf {T} d \ vec A $$ We kunnen de Cauchy-stresensor dan ontleden in de isotrope drukbijdrage en de stressbijdrage (die we constitutief moeten maken) vergelijkingen voor): $$ \ textbf {T} = \ tau -p \ textbf {1} $$ Dus uw vergelijking (3) is correct. Je vergelijking (2) geeft je een bijdrage aan de kracht op het oppervlak, maar niet de totale kracht.


Deep 10/15/2016.

In vloeistofmechanica is stress tensor $ \ sigma_ {ij} $ de primaire hoeveelheid. Druk wordt gedefinieerd door middel van vergelijking (1) die in uw vraag wordt genoemd. Het is duidelijk dat $ -p \ equiv \ frac {1} {3} \ sigma_ {ii} $ ($ \ sigma '_ {ij} $ per definitie traceless is). Met andere woorden, druk wordt gedefinieerd als het gemiddelde van normale spanningen op drie orthogonale vlakken die door het punt gaan waar de spanningsensor wordt berekend. Druk die op deze manier wordt gedefinieerd, wordt mechanische druk genoemd. Bij de interpretatie op deze manier wordt de in uw vraag genoemde vergelijking (2) in het algemeen ongeldig. Vergelijking (3) die in uw vraag wordt genoemd, is de juiste formule om netto kracht op vloeistofelement in richting $ i $ te berekenen.

Strikt genomen is de vergelijking (2) die in uw vraag wordt genoemd alleen van toepassing in vloeiende statica, omdat dan $ \ sigma '_ {ij} = 0 $, en dus $ \ sigma_ {ij} = - p \ delta_ {ij} $, wat betekent dat normale spanning in alle richtingen hetzelfde is en dat vergelijking (2) ondubbelzinnig wordt. Mensen stellen deze gemiddelde waarde echter gelijk aan thermodynamische druk bij het toepassen van relaties van evenwichtsthermodynamica op stromingen. Als deze benadering wordt gemaakt, kan in die benadering vergelijking (2) op stromen worden toegepast. Als een ballon bijvoorbeeld wordt opgeblazen, zal de stroming in de ballon gecompliceerd zijn. Als de temperatuur in de ballon echter uniform is en als de ideale gasvergelijking van toepassing is, kunt u de (thermodynamische) druk aan de binnenwand van de ballon berekenen en doen alsof deze ook de druk is die wordt weergegeven in de Navier-Stokes-vergelijking (die is de druk gedefinieerd door vergelijking (1)).

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags