Limiet van een integraal vinden: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Stel dat $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ continu is. Bepaal of de volgende limiet bestaat

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Aangezien $ f (x) $ en $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ continu zijn, is hun product Riemann integreerbaar. Echter, $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ bestaat niet, dus het is niet uniforme convergentie en we kunnen de limiet binnen de integraal niet overschrijden. Het voldoet ook niet aan de voorwaarden van Dini Theorem. Ik weet niet hoe ik een geldig argument kan maken voor dit probleem, maar ik denk dat door wat ik zei de limiet niet bestaat. Ik waardeer alle hulp.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue-lemma . Merk op dat $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Bedankt, denk ik, ik kan het nu voltooien
Teepeemm 07/31/2017
Dat lijkt geavanceerder dan het probleem vraagt.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Een enigszins andere manier om dit op te lossen, is om de volgende waarneming te gebruiken.

Proposition. Als $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ continu is, is $ g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ continu en $ L $ -periodic, dan

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. Uitgaande van deze verklaring volgt het antwoord onmiddellijk sinds $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ is $ 2 \ pi $ -periodiek en

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. De intuïtie is heel duidelijk: als $ n $ erg groot is, dan hebben we op subinterval $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ approx f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Dus het negeren van details, zouden we hebben

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right) $$

    en limiet nemen als $ n \ tot \ infty $, de rechterkant convergeert naar de gewenste waarde. Het invullen van de details is vrij routinematig.

  3. De veronderstelling over continuïteit is slechts een technische setting voor eenvoudig bewijs, en je kunt ze tot op zekere hoogte ontspannen door meer moeite te doen.


Michael Hartley 07/31/2017.

Je kunt niet concluderen $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ bestaat niet alleen omdat $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ doet dat niet. $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ bestaat bijvoorbeeld niet, maar $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ omdat de integraal nul is voor alle $ n $.

Ik vrees dat mijn nut op dit punt opraakt, hoewel ik denk dat de limiet bestaat: je zou, als er niets anders is, een epsilon-delta argument kunnen vinden dat de integraal tot uitdrukking brengt als de som van een stel integralen op intervallen van lengte $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Dit kan een zeer slechte manier zijn om het probleem aan te pakken.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags