Functies die altijd minder zijn dan hun derivaten

Mike Brown 09/03/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Ik vroeg me af of er functies zijn waarvoor $$ f '(x)> f (x) $$ voor alle $ x $. Alleen voorbeelden die ik kon bedenken waren $ e ^ x - c $ en gewoon $ - c $ waarin $ c> 0 $. Ook is er een betekenis in een functie die altijd minder is dan zijn afgeleide?


Bewerken: Hartelijk dank voor alle antwoorden. Het lijkt bijna alle functies die van toepassing zijn, zijn exponentieel van aard ... Zijn er nog meer voorbeelden zoals - 1 / x?

Nogmaals zijn er applicaties / fysieke manifestaties van deze functies? [bijvoorbeeld een object met een snelheid die altijd groter is dan zijn positie / versnelling is altijd groter dan de snelheid]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Uit de bovenkant van mijn hoofd, elke beperkte, monotonische toenemende functie in het onderste halfvlak.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Ixion's antwoord geeft de volledige, meest algemene oplossing (hoewel sommige specifieke oplossingsfamilies in mooier vormen kunnen worden geschreven), en moeten worden geaccepteerd.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Maar alsjeblieft, regelt u de titel, wijzigt u het van "hun" naar "hun". De manier waarop de titel geschreven is, lijkt het alsof je derivaten van alle bestellingen overweegt. En nu ben ik nieuwsgierig naar deze kantvraag, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Als $ y '(x)> y (x) \ quad \ voorall x \ in \ mathbb {R} $, kunnen we $ f (x) = y' (x) -y (x) $ definiëren $ x $. Stel dat $ y '(x) $ continue functie is, zodat $ f (x) $ ook continu is. Nu met dit element kunnen we de differentiaalvergelijking $ y '(x) = y (x) + f (x) $$ bouwen en zijn oplossingen worden gegeven door: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ x_0 {} ^ {x} e {^ - s} f (s) ds \ right) $$

Nogmaals zijn er applicaties / fysieke manifestaties van deze functies? [bijvoorbeeld een object met een snelheid die altijd groter is dan zijn positie / versnelling is altijd groter dan de snelheid]

Ik weet niet of er sprake is van deze interessante eigenschap, maar ik weet zeker dat je de snelheid niet kan vergelijken met de positie omdat ze geen homogene hoeveelheden zijn.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Aanvaarding van $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Dus u kunt elke functie $ g $ waar $ g '(x)> 1 $ omzetten in dit type functie door de exponentiële van deze functie te nemen:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ impliceert \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ impliceert \ frac {d} {dx} ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
U veronderstelt in het begin $ f (x)> 0 $
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Dan kan hij $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ als zijn startpunt gebruiken voor een gegeven $ f $. Op die manier heeft men altijd $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
Ixion's antwoord geeft de volledige generalisatie door $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ toe te staan ​​als een functie die overal positief is.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Nee, hij veronderstelt continuïteit van $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Ik ben er zeker van dat de toestand niet echt nodig is.

Peter 07/28/2017.

Een simpel voorbeeld is $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Een meer interessant probleem is het vinden van een functie $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, waarvan de afbeelding $ \ mathbb {R} $ is en voldoet aan $ f '(x)> f (x) $ voor alle $ x \ in \ mathbb {R} $. Een van die functies is

$$ \ sinh (x) $$

omdat

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ voor alle $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Neem $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Dan hebben we $ f (x)> f (x) $ en voor $ \ alpha <1 $ hebben we $ f '(x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Hoe zit het met als je het als een differentiaalvergelijking bekijkt. Zeggen

$ y '= y + 1 $

die de oplossing $ y = Ce ^ x -1 $ heeft

Of $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

die de oplossing $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $ heeft

Of $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

die de oplossing $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $ heeft

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Ixion's antwoord genereert dit op $ y '(x) = y (x) + f (x) $ voor elke $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - moet ik mijn antwoord verwijderen?
Robin Saunders 07/30/2017
Ik weet niet veel over Stack Exchange etiquette, maar mijn gok zou dat zijn, sinds je eerst je antwoord hebt geplaatst en bevat specifieke voorbeelden niet in het andere antwoord, zou het goed moeten zijn om het te verlaten.

Eric Towers 07/30/2017.

Een very simpel voorbeeld is $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Relevant voor uw bewerking: dit is helemaal niet exponentieel.

Andere voorbeelden die niet direct exponentieel zijn:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ is overal negatief en overal strikt monotonisch aan het toenemen, dus is overal minder dan zijn afgeleide.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ is ook overal negatief en overal strikt monotonisch. (Dit zijn zeer vergelijkbaar, aangezien ze kopieën van de CDF's van de (standaard / genormaliseerde) Cauchy en Gaussische verdelingen verschoven worden.)
  • $ \ frac {1} {2} \ left {x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ rechts) $ is de onderste tak van een hyperbola met de $ x $ -axis en de lijn $ y = x $ als asymptoten. Het is overal negatief en overal strikt monotonisch aan het toenemen.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Zie, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Meer in het algemeen, elke negatieve functie met positief derivaat ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Een ander eenvoudig voorbeeld zou $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $ zijn


Adayah 07/29/2017.

De ongelijkheid $$ f '(x)> f (x) $$ is gelijk aan $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Dus de algemene oplossing is om een ​​differentieerbare functie $ g (x) $ te nemen met $ g '(x)> 0 $ en zet $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Houd er rekening mee dat er niets wordt geacht van $ f $ behalve differentiteit, die nodig is om de vraag in de eerste plaats te stellen.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Voor elke differentiële functie $ f $ waarvoor zowel $ f (x) $ en $ f '(x) $ beperkt zijn tot eindige reeksen, is $ f' (x) - f (x) $ ook beperkt tot een eindige reeks, dus er is een $ c $ waarvoor $ f '(x) - f (x)> -c \ \ voorall \ x $. Daarom kan een functie $ g (x) = f (x) - c $ worden gevormd waarvoor $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ voorall \ x $ of $ g' (x )> g (x) \ \ voorall \ x $.

Dit houdt bijvoorbeeld in voor veel verschillende periodieke functies.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
De laatste verklaring is fout, aangezien niet elke differentieerbare periodieke functie afgeleide afgeleide heeft.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Je hebt gelijk. Ik overweeg periodieke functies die op elk moment in $ \ mathbb {R} $ verschillend waren, maar ik besef dat een functie alleen op alle punten in zijn domein moet differentiëren, om te worden beschouwd als differentieerbaar. Ik heb mijn antwoord geüpdatet.
Adayah 07/30/2017
Ik bedoel, een functie $ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ kan periodiek en differentieerbaar zijn in elk punt $ a \ in \ mathbb {R} $ en nog steeds ongegrond derivaat.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Heb je een voorbeeld van zo'n functie?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Ik bedoel, als een functie $ f $ overal differentieerbaar is, moet de afgeleide $ f '$ overal bestaan, en $ f' $ moet continu zijn (want als er discontinuiteit bestaat, kan $ f '$ niet op dat moment bestaan ). Dat maakt het onmogelijk om $ f '$ ongegrond te zijn, toch?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike een antwoord op je aanvullende vraag "Zijn er fysieke voorbeelden hiervan?" is ingeschakeld door dromastyx.

Zijn voorbeeld toont hyperbolische functies die nauwkeurig het fysieke fenomeen van 'solitons' beschrijven.

Solitonen zijn eenzame golven zoals zonneschijn, Tsunami's, enz. Een voorbeeld van het vinden van dergelijke golven die in bekende vergelijkingen verborgen zijn, is:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags