Kennen de meeste wiskundigen de meeste onderwerpen in de wiskunde?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
soft-question

Hoeveel onderwerpen buiten zijn of haar specialisatie is een gemiddelde wiskundige bekend?

Weet een gemiddelde groepstheoreticus bijvoorbeeld genoeg van partiële differentiaalvergelijkingen om een ​​toets af te leggen in een PDE-cursus op graduaatniveau?

En wat zijn de 'must-know'-onderwerpen voor elke aspirant-wiskundige? Waarom?

Moet ik als afgestudeerde student meer focussen op breedte (keuze uit een breed scala aan klassen die relatief paarsgewijze niet-verwant zijn, bijv. Groepentheorie en PDE's) of diepte (bijv. Meettheorie en functionele analyse)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
U weet dat de groepentheorie is gebruikt bij de studie van partiële differentiaalvergelijkingen, meestal om alle symmetrieën die een PDE zou kunnen hebben, te exploiteren.
53 Cauchy 07/27/2017
Nee, een gemiddelde groepstheoreticus krijgt een dikke $ 0 $ in een PDE-cursus met een graduaatniveau (hij / zij heeft might ooit PDE gestudeerd, maar hij / zij is alles absoluut vergeten).
23 Cauchy 07/27/2017
Over het algemeen hebben de meeste wiskundigen echter een zekere blootstelling aan een breed scala aan onderwerpen, zodat als ze een bepaald gereedschap van een andere tak nodig hebben, ze het materiaal (relatief) snel kunnen opfrissen en de relevante literatuur kunnen lezen.
1 owjburnham 07/27/2017
Ik vermoed dat dit landspecifiek is, en dus de moeite waard om te taggen? Ik (in het VK) heb nooit als teststudent een enkele test hoeven ondergaan (godzijdank).
6 Robin Saunders 07/29/2017
@ Myles, ik heb dat vaker gehoord van Poincaré.

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

Je vraag is eerder filosofisch dan wiskundig.

Een collega van mij vertelde me ooit de volgende metafoor / illustratie toen ik een bachelorstudent was en hij promoveerde. En sinds nu enkele jaren voorbij zijn, kan ik me verhouden.

Het is moeilijk om het te schrijven. Denk eraan een grote cirkel in de lucht te tekenen, in te zoomen en dan weer een grote cirkel te tekenen.

Dit is allemaal kennis:

[--------------------------------------------] 

Alle kennis bevat veel, en wiskunde is slechts een klein onderdeel ervan - gemarkeerd met het kruisje:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

Wiskundig onderzoek is onderverdeeld in vele onderwerpen. Algebra, getaltheorie en vele andere, maar ook numerieke wiskunde. Dat is dit kleine deel hier:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

Numerieke wiskunde is ook onderverdeeld in verschillende onderwerpen, zoals ODE-getallen, optimalisatie enz. En een daarvan is FEM-theorie voor PDE's.

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

En dat is het deel van kennis, waar ik me comfortabel voel zeggen: "Ik weet een beetje meer dan de meeste andere mensen in de wereld".
Nu, na enkele jaren, zou ik die illustratie nog een stap verder zetten: mijn kennis in dat deel lijkt er eerder op

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

Ik weet er nog steeds maar "een beetje" van, het meeste weet ik niet, en het meeste wat ik heb geleerd is al vergeten.

(Feitelijk is FEM-Theorie nog steeds een enorm onderwerp, dat bijvoorbeeld verschillende soorten PDE's bevat [elliptisch, parabolisch, hyperbolisch, anders]. Je zou het "zoomen" dus verschillende keren meer kunnen doen.)


Een andere kleine wijsheid is: iemand die klaar is met school denkt dat hij alles weet. Nadat hij zijn master heeft afgerond, weet hij dat hij niets weet. En na het doctoraat weet hij dat iedereen om hem heen ook niets weet.


Vragen over je focus: IMO gebruikt de eerste paar jaar om onderwerpen in wiskunde te verkennen om erachter te komen wat je leuk vindt. Ga dan dieper - als je vond wat je leuk vindt.

Zijn er onderwerpen die u moet kennen? Er zijn basics die je in de eerste paar termen leert. Zonder hen is het moeilijk om te "spreken" en "doen" met wiskunde. Je leert de tools die je nodig hebt om dieper te graven. Daarna voel je je vrij om te genieten van wiskunde :)
Als je onderzoeksfocus bijvoorbeeld op PDE-nummers (zoals de mijne) ligt, maar je houdt ook van pure wiskunde - ga je gang en neem een ​​lezing. Zal het je helpen? Misschien misschien niet. Maar het was zeker leuk om kennis te vergaren, en dat is wat telt.

Denk niet te veel na over welke lezingen te volgen. Alles komt goed. Ik denk dat de meeste wiskundigen het met die stelling eens zullen zijn.

4 comments
46 Eff 07/27/2017
Dit is vergelijkbaar met de geïllustreerde gids voor een Ph.D. .
10 Mars 07/30/2017
Voor de goede orde, ik ben een professionele filosoof (Ph.D. in filosofie, baan als professor, dat alles). ZOO ... volgens mijn professionele mening is deze vraag niet filosofisch. Het is empirisch. OP vraagt ​​om empirische generalisaties over wiskundigen. De suggestie van P. Siehr is dat de vraag onnauwkeurig is gesteld of op onjuiste aannames is gebaseerd. Dat maakt de vraag of de mogelijke antwoorden niet filosofisch. (fwiw ik ben het niet eens met P. Siehr dat de vraag zoals gezegd niet kan worden beantwoord, en mijn opmerkingen zijn niet bedoeld als ondersteuning voor de opmerkingen van amWhy.)
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars Opgemerkt moet worden dat 'filosofisch' in een wiskundige context meestal niet verwijst naar het gebied van de filosofie, maar naar bijna elke wiskundig relevante of geïnspireerde gedachte buiten de rigoureuze en formele wiskunde. (Ik hoop dat wiskundigen die het woord gebruiken dit herkennen!) Ik ben het ermee eens dat de vraag niet filosofisch is in de werkelijke betekenis van het woord, maar ik denk wel dat het filosofisch is in de zin van veel wiskundigen.
Mars 08/09/2017
Ah, dat is interessant @ JoonasIlmavirta. Bedankt.

Georges Elencwajg 07/27/2017.

Het antwoord op uw vraag is eenvoudig:
Nee, een gemiddelde wiskundige gespecialiseerd in bijvoorbeeld de algebraïsche meetkunde kon niet without preparation overgaan op een examen op graduaat niveau over partiële differentiaalvergelijkingen.
Wacht, het is erger dan dat: hij kon niet eens slagen voor een undergraduate level examen over partiële differentiaalvergelijkingen.
Wacht, het is nog erger: hij kon geen examen behalen in algebraic geometry over een ander gespecialiseerd onderwerp dan het zijne. Bijvoorbeeld een elementair examen over de classificatie van singulariteiten als hij is gespecialiseerd in Hilbert-schema's.
Omgekeerd zou ik zeer verrast zijn als een beruchte analist die onlangs een Fields-medaille kreeg de oefeningen in, zeg, hoofdstuk 5 van Fulton's Algebraic Curves , de standaardinleiding tot algebraïsche algebraïsche meetkunde, zou kunnen oplossen.

Some remarks
1) Wat ik schreef is eenvoudig te bevestigen in privé maar onmogelijk om te bewijzen in het openbaar:
Ik kan niet zo goed schrijven dat XXX, een gerespecteerde probabilist, in een recent gesprek ruimschoots heeft bewezen dat hij geen idee had wat de fundamentele groep van de cirkel is.

2) Als auteur YYY een artikel schreef over partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van technieken uit een aanvaardbare groep, betekent dit niet dat andere specialisten in zijn vakgebied enige groepstheorie kennen.
Het bewijst zelfs niet dat YYY veel wist van groepstheorie: hij had zich misschien gerealiseerd dat groepstheorie betrokken was bij zijn onderzoek en interviewde een groepstheoreticus die hem over aanvaardbare groepen had verteld.

3) Aan de positieve kant lijken enkele zeer uitzonderlijke wiskundigen veel te weten over bijna elk onderwerp in de wiskunde: Atiyah, Deligne, Serre, Tao komen voor de geest.
Mijn droevige vermoeden is dat hun aantal een functie is die in de loop van de tijd naar nul neigt.
En hoewel ik niet kon slagen voor een analyse-examen, weet ik wat dit betekent voor een $ \ mathbb N $ -waarde functie ...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
We hebben enkele mensen op mijn afdeling die op zijn minst commentaar kunnen geven op een grote verscheidenheid van subvelden binnen een brede discipline. Verschillende geometers komen voor de geest die iets intelligents te vertellen hebben over een groot aantal geometrie gebieden. Misschien is het niet mogelijk om alles te weten. Maar hopelijk is het nog steeds mogelijk om veel dingen over veel dingen te weten. Ik denk dat dat waarschijnlijk goed genoeg is, omdat er nu zoveel meer te weten valt!
1 Santropedro 07/28/2017
Georges, wanneer je zegt: "Omgekeerd zou ik zeer verrast zijn als een beruchte analist die onlangs een Fields-medaille kreeg, de oefeningen in, zeg, hoofdstuk 5 van Fulton's Algebraic Curves, de standaardinleiding tot algebraïsche algebraïsche meetkunde, kon oplossen." hoeveel tijd mogen ze aan elke oefening denken? Als we hen genoeg tijd geven om het boek te lezen en te oefenen, zouden ze dat zeker voor hen oplossen. Kunnen zij het boek niet lezen, en moeten ze het ter plekke oplossen, in hoeveel tijd?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
Beste @Santropedro, natuurlijk, als die briljante analist een week of twee kreeg, kon hij het boek lezen en zijn oefeningen oplossen. Het punt dat ik wilde maken, is dat hij ze waarschijnlijk niet zou kunnen oplossen met wat hij nu al weet.
2 Michael Kay 07/28/2017
Een paar jaar geleden vond ik het grappig om te proberen een GCSE-wiskundedocument (voor 16-jarigen) aan te pakken dat mijn dochter mee naar huis nam. Op die leeftijd zou ik er zonder problemen doorheen zijn gevaren. Ik merkte dat ik geen enkele vraag kon beantwoorden, hoewel mijn werk in software engineering regelmatige blootstelling aan behoorlijk veel wiskunde inhoudt.
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars: ja, dat is precies waar het om gaat. Het OP vroeg naar onderwerpen waarmee een wiskundige vertrouwd was . De vraag of hij could vertrouwd could maken met een dergelijk onderwerp en hoe lang het zou duren, is totaal verschillend en staat in grote mate in verband met het idee van 'briljant' te zijn.

MCS 07/29/2017.

Mijn twee cent: tenzij je een magisch brein hebt, of een soort van baanbrekend genie bent, zul je waarschijnlijk merken dat je op een bepaald moment alleen maar zoveel wiskunde in je hoofd kunt houden. Dus, om praktische redenen - zowel met betrekking tot het schrijven van een proefschrift als met betrekking tot het maken van een carrière voor jezelf - moet je waarschijnlijk vasthouden aan een of twee nauw verwante gebieden, zodat je over voldoende expertise beschikt om jezelf bruikbaar te maken voor een onderzoeksinstelling of wat dan ook dat u met uw toekomst wilt doen.

Dat gezegd hebbende, heb ik ondervonden dat elleboogvet en vaardigheid in wiskunde vaak hopeloos niet met elkaar verband houden. Veeleer is vaardigheid vaak meer afhankelijk van hoeveel wiskunde men heeft seen . Daarom zou ik willen zeggen dat je, hoewel je zeker een onderwerp of twee moet kiezen om je eigen onderwerp te noemen, moet streven naar een open geest en een actieve interesse in een breed scala aan wiskundige disciplines.

Ik vind vaak dat het lezen (al dan niet terloops) van vormen van wiskunde die geen verband houden met mijn onderzoeksgebieden een schat aan nieuwe ideeën en inzichten biedt. Hoe meer patronen en verschijnselen je kent, hoe groter de kans dat je iets van belang zult merken dat indruist tegen je werk, en dat geeft je misschien enige intuïtie die je anders misschien niet had gehad. Op zijn minst zal het u helpen te weten welke onderwerpen of bronnen (of medewerkers ...) u moeten opzoeken als u ergens buiten uw vakgebied terechtkomt.

Bewerken: nog een ding. Linear algebra. Om Benedict Gross te parafraseren, is er niet zoiets als te veel Lineaire algebra kennen. Het is everywhere freakin '.


paul garrett 07/27/2017.

Er is natuurlijk een grote ambiguïteit in de vraag. Maar met elke interpretatie zou het antwoord in het algemeen zijn: "Nee, de meeste beoefenaars van een deel van X herinneren zich niet alles van X ... omdat ze dat niet need te doen".

Dus alleen al omdat de herinneringen van de meeste, zelfs zeer slimme mensen met de tijd vervagen, zal er in de geest van wiskundigen die enkele jaren aan een bepaald soort dingen werken, maar een klein restant van de standaard-basisdingen resteren. Afgezien van lesrekenen, is er weinig need om nog veel meer te onthouden. Ja, vanuit het oogpunt van de wetenschap is dit potentieel verontrustend, maar in feite is er in bijna alle professionele wiskundige situaties weinig motivatie / beloning voor echte wetenschap. Het past op de een of andere manier niet in de formules van de loonsverhoging, de benoeming, of veel anders. (Niet dat het mijzelf schelen is of ik de dingen probeer te begrijpen "voor betalen", of niet ...)

Toegegeven, de meeste graduate programma's in de VS in de wiskunde trachten wel enige minimale competentie / waardering te genereren voor een groot deel van de basiswiskunde, maar na 'passing qualifiers' lijkt het erop dat de overgrote meerderheid van de mensen niet veel belangstelling heeft om verder te streven naar brede studiebeurs, hetzij in principe, hetzij voor mogelijke directe voordelen.

Ik maak ook bezwaar tegen het (wat ik denk is) simplistische beeld dat "specialisatie" is als "inzoomen met een microscoop", enzovoort. Natuurlijk, dit is een verdedigbare wereldbeschouwing en subjectieve wereldvisie, en, zeker, door iemands acties kan men het een accurate beschrijving maken ... maar ik denk dat het niet accuraat is voor de realiteit. In het bijzonder zie ik de echte ideeën niet zozeer "gelokaliseerd" zijn als een "fysieke zoommicroscoop" relevant zou zijn. Dat wil zeggen, het idee dat "wiskunde" op wat voor manier dan ook als een fysiek iets kan worden afgebeeld, met alle lokale eigenschappen die dat impliceert, ik denk dat het enorm onnauwkeurig is. Nogmaals, ja, we kunnen het juist maken, als niets anders door onwetendheid of onwetendheid-fiat. Maar...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

De vraag hoeveel wiskundeonderwerpen een gemiddelde wiskundige kent, hangt sterk af van twee definities:

  1. Onderwerp
  2. Weten

Natuurlijk hangt het ook af van andere definities (zoals wiskundigen) maar in mindere mate.

Kwantitatieve benadering om deze vraag te beantwoorden

Laten we niveaus van onderwerpen als volgt definiëren, losjes gebaseerd op Wikipedia :

  1. Wiskunde (1 onderwerp op dit niveau)
  2. Pure wiskunde / toegepaste wiskunde (2 onderwerpen op dit niveau)
  3. Algebra, ..., Operations-onderzoek (13 onderwerpen op dit niveau)
  4. Abstracte algebra, Booleaanse algebra, ... (onderwerpen op dit niveau)

Nu, op basis van persoonlijke ervaring en een beeld van de gemiddelde wiskundige, kan ik antwoorden op hoeveel een dergelijke wiskundige hiervan zou weten, voor elk niveau:

  1. Kan een graduate cursus over dit onderwerp doorgeven
  2. Kan een graduate cursus over deze onderwerpen doorgeven
  3. Kan slagen voor een graduate cursus over een aantal van deze onderwerpen, kan een inleidende cursus over de meeste van deze onderwerpen
  4. Kan slagen voor een graduate cursus over een paar van deze onderwerpen (misschien 5 ~ 15%)

Merk op dat als je verder gaat dan niveau 4, je zo specifiek bent dat je misschien geen volledige graduate cursussen over zo'n onderwerp zult vinden. Vandaar mijn conclusie:

Op basis van persoonlijke ervaring verwacht ik dat een gemiddelde wiskundige behoorlijke kennis heeft van tussen 5% en 15% van de onderwerpen op het niveau van de afgestudeerde cursus


Linas 07/29/2017.

Ik heb verschillende jaren doorgebracht met een project om de eerste 1-2 hoofdstukken van ten minste één wiskundeboek op elke plank van de universiteitsbibliotheek te lezen. Het was een poging om een ​​onbevooroordeeld onderzoek van wiskunde te verkrijgen. Het was goed voor mij, maar het was een luxe: de gedwongen mars door een PhD-programma en naar de academische wereld biedt weinig tijd voor dergelijk gedrag. Toch is het belangrijk: alle beste, beroemdste wiskundigen gebruiken duidelijk crossdisciplinaire tools in hun werk. En voor mij persoonlijk was het een soort level-up: plotseling is alles eenvoudiger.

Gespecialiseerd in één veld is een beetje zoals het tillen van gewichten met alleen je rechterarm, het negeren van de kern, rug en benen: het laat je verrassend zwak en niet in staat. Wanneer je veel verschillende abstractiestijlen onder de knie moet krijgen, word je beter in abstractie, in het algemeen, zelfs in de door jou gekozen specialiteit. Dit was voor mij de grote onverwachte verrassing.

Voor de meer kwantitatieve vraag die hier wordt gesteld: kan ik "slagen voor een toets op XYZ-niveau op graduate niveau?" voor een 1e-jaars, 1e semester natuurlijk, misschien, waarschijnlijk. Soort van. Examens stellen meestal vragen met behulp van frasering en notatie die nauw aansluiten bij het klasboek en deze notatie kan sterk verschillen van het ene leerboek tot het andere. Dus daarvoor is prep nodig. Het punt is dat een dergelijke voorbereiding eenvoudiger wordt.

1 comments
Lehs 07/29/2017
Er moeten veel wiskundeboeken zijn in een universiteitsbibliotheek. Ik zou nooit alle titels en zeker niet alle definities in al die boeken kunnen leren. En het is gewoon onmogelijk om zoveel context te onthouden. Maar een professionele wiskundige kan waarschijnlijk de context van een van de boeken begrijpen als hij of zij dat moet doen.

R K Sinha 08/07/2017.

Er is een groot tekort aan studieboeken op graduate-niveau in de wiskunde, geschreven met het doel om het "ware onderwerp" zo snel mogelijk te onderwijzen. "Smooth Manifolds by Sinha" is zo'n boek. Als er zoveel boeken van dit type beschikbaar komen, zou de wiskundebeoefening geen lachertje zijn.


John Bentin 07/27/2017.

Zeker niet. De grote wiskundige Grothendieck was bijvoorbeeld onvoldoende bekend met rekenkunde om het gehele getal $ 57 $ als niet-priemgetal te herkennen. De vele accounts van dit verhaal zijn toegankelijk via een internetzoekopdracht voor de belangrijkste termen; bijvoorbeeld, zoek naar grothendieck prime 57 .

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
Dit is een belachelijk voorbeeld! Grothendieck dacht in het algemeen aan prime-lenzen. Het kan hem gewoon niet schelen of $ 57 $ een prime is.
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
Het verhaal is niet verzonnen: Grothendieck maakte die dwaze blunder in een ruil na een gesprek, nadat hem werd gevraagd om concreter te zijn door een lid van het publiek. Dit verandert natuurlijk niets aan het feit dat Grothendieck een van de meest diepgaande rekenkundigen van de 20ste eeuw was. En inderdaad, 57 looks een beetje priem uit voor een of andere psychologische reden :-). Omgekeerd denken veel wiskundigen dat ik aan het trekken ben wanneer ik zeg dat $ 4999 $ het beste is !
1 Dair 07/27/2017
Ik geloof dat Terrance Tao ook zei dat 27 de hoofdrol speelde in het Colbert-rapport, of iets dergelijks: p (niet dat hij niet goed bekend is met prime-lenzen, maar een amusante anekdote) De betere vraag is echter: hoe weet ik dit? En, wat doe ik met mijn leven?
1 quid 07/27/2017
'Maar Grothendieck moet geweten hebben dat 57 geen priemgetal is, toch? Absoluut niet, zei David Mumford van Brown University. "Hij denkt niet concreet." "Omdat hij het zeker kende, in die zin dat hij de vraag" Is 57 een priemgetal? "Kan beantwoorden? correct, en dit wordt daar vervaagd.
1 John R Ramsden 08/02/2017
Als de oorspronkelijke vraag beantwoord wordt door wat de enigszins smakeloze benadering lijkt van het wijzen op onvermijdelijke hiaten in zelfs de grootste wiskundigenkennis, zou een beter voorbeeld dan een dwaze rekenkundige slip zijn geweest toen Grothendieck een collega vroeg naar een bepaalde definitieve integraal die hij was tegengekomen, en hij was verrast te horen dat het gewoonlijk de normale distributie werd genoemd.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags